Cours
universitaire franco-marocain de mathématiques
Équations différentielles
Ce cours en 12 vidéos de 2 à 8 minutes chacune, niveau L1-L2, vous est proposé par le LAGA et le département de mathématiques (Institut Galilée) en collaboration avec le LaR2A (faculté des sciences de Tétouan). Les responsables de projet sont Arij Bouzelmate (LaR2A) et Benoît Rittaud (LAGA), en collaboration avec Olivier Lafitte (LAGA) et Bouchaïb Ferrahi (LaR2A). Vous le retrouverez également sur la chaîne YouTube dédiée, « Cours universitaire franco-marocain mathématiques ». Ce cours sera progressivement complété avec des exercices corrigés.
Voir ici la page miroir du département de mathématiques (Université Sorbonne Paris Nord).
Vidéo 0.1 - Introduction
0:00 Présentation des partenaires
0:42 Importance des équations différentielles. Les mots « équations » et « différentielles »
2:00 Exemples concrets : ballon, raccordement d'autoroute, diffusion de la chaleur
3:02 Expression d'une équation différentielle. Exemple de l'oscillateur harmonique
3:47 Programme du coursVidéo 1.1 - Généralités
0:00 Notion d'équation différentielle 1:38 Le problème de De Beaune 3:24 Équations différentielles linéaires du premier ordre 4:35 Plan d'étude
Vidéo 1.2 - Cas résolu sans second membre
0:17 Solutions des équations différentielles d'ordre 1 résolues et sans second membre 0:56 Démonstration du théorème : sens direct 1:39 Démonstration du théorème : sens réciproque 3:01 Un exemple : y'+2cos(2x)y=0 sur R 3:46 Avec le formalisme de l'algèbre linéaire 4:51 Visualisation dynamique 5:04 Une autre méthode de résolution 6:26 Lacunes de cette autre méthode 7:22 Vérification des calculs
Vidéo 1.3 - Cas résolu avec second membre
0:15 Solutions de y'+by = f 1:00 Démonstration 1:41 Mise en œuvre du théorème 2:34 Solutions « à l'œil nu » 2:56 Principe de superposition 3:32 Un exemple : y'+y = 2ex+1 sur R 4:05 Variation de la constante 5:02 Un exemple : y'–2xy = (1–2x)ex sur R 7:00 À l'œil nu ou avec la variation de la constante ?
Vidéo 1.4 - Cas général
0:06 L'équation différentielle ay'+by = f 0:45 Et si a s'annule ? 0:58 Points singuliers 1:28 Un exemple : xy'+y = 0 2:41 Recollement de solutions
Vidéo 1.5 - Bilan + un exemple complet
0:07 Procédure pour résoudre ay'+by = f sur I 1:29 Un exemple : (x–1)y'+(2–x)y = ex 1:55 Étude de (E0) sur ]1, +∞[ 2:48 Solution particulière de (E) à l'œil nu 3:27 Étude sur ]-∞, 1[ 4:20 Solution particulière de (E) avec la variation de la constante 4:54 Pourquoi x–1 et pas x ? 5:31 D, puis D(x), puis encore D ? 6:00 Pourquoi séparer en intervalles 6:28 Recollement
Vidéo 2.1 - Équations différentielles autonomes
0:06 Définition d'une équation différentielle autonome et premiers exemples 1:10 Modèle de Verhulst 2:54 Résolution d'une équation différentielle autonome 3:40 Intervalles de définition 4:02 Un exemple simple : 2yy' = 1 5:07 Un exemple plus problématique : y' (1+sin(y)) = 1 5:24 Résolution avec dy/dx
Vidéo 2.2 - Équations différentielles à variables séparées
0:06 Définition 0:26 Résolution 0:53 Un exemple : y' = 2x e-y 1:37 Intervalles de définition
Vidéo 2.3 - Équations différentielles homogènes
0:06 Définition et méthode de résolution 0:26 Un exemple : 2xyy' = y2–x2 3:21 Cas général
Vidéo 2.4 - Équations différentielles de Bernoulli
0:10 Définition, retour sur le modèle de Verhulst 0:56 Méthode de résolution 1:53 Le problème y = 0 2:40 Un exemple : y'+y =2e-x.y2
Vidéo 2.5 - Équation de Riccati
0:10 Définition 0:32 Méthode de résolution 1:28 Un exemple : y' =ex+y–e-x.y2
Vidéo 2.6 - Avec une condition initiale
00:05 Position du problème 00:46 Exemple : y'+2cos(2x)y = 0 avec y(0) = 1 01:25 Une seule solution ? 02:02 Présentation informelle du théorème de Cauchy-Lipschitz 02:23 Quand y s'annule